2.1 Continuidade de funções de várias variáveis - parte 2

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Ainda antes de definirmos continuidade de funções de várias variáveis, iremos fazer algumas considerações sobre limites envolvendo tais funções. E, para o efeito, precisamos da noção de ponto de acumulação, que começamos por dar.

Definições de ponto de acumulação e de ponto isolado

Seja $A \subset \mathbb{R}^n$. Um elemento $a \in \mathbb{R}^n$ diz-se um ponto de acumulação de $A$ se toda a bola aberta $B_r(a)$ contiver pelo menos um ponto de $A$ que não seja o próprio $a$. Caso tal não aconteça e o ponto $a$ pertença efectivamente a $A$, diz-se então que é um ponto isolado de $A$.

Apesar de cada elemento do domínio de uma função de várias variáveis ser composto de várias coordenadas, a definição de limite de uma tal função num ponto não poderá ser feita por redução a coordenadas, numa tentativa de se usar uma ideia como a da definição de limite de funções vectoriais. Na verdade, redução a coordenadas no conjunto de chegada (como era ali o caso) ou redução a coordenadas no conjunto de partida (como teria que ser no presente contexto) têm efeitos práticos muito diferentes. O problema no caso das funções de várias variáveis é que isso levaria a uma noção que não está de acordo com a ideia geométrica de limite.

Exemplo

Considere-se a função $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por

(1)
\begin{align} f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se } x=0 \mbox{ ou } y=0 \\ 0 & \mbox{ se } x \not= 0 \mbox{ e } y \not= 0 \end{array} \right. . \end{align}

Do ponto de vista geométrico, é claro que esta função não pode ter limite quando $(x,y)$ se aproxima de $(0,0)$, já que em qualquer bola aberta $B_r((0,0))$ se conseguem encontrar pares $(x,y)$ tais que $x=0$ ou $y=0$ e pares $(x,y)$ para os quais $x \not= 0$ e $y \not= 0$, logo $f$ assume tanto o valor 1 como o valor 0 em qualquer dessas bolas, e portanto não se pode dizer que se esteja a aproximar de um ou de outro, ou de qualquer outro número real, e muito menos do infinito.
No entanto, se fizermos apenas variar ou o $x$ ou o $y$, mantendo a outra coordenada no 0, obtemos sempre $f(x,y)=1$ e o limite 1.

Assim, a definição a considerar inspira-se na ideia geométrica e segue a linha usada na caracterização geométrica do limite para funções vectoriais de uma só variável:

Definição de limite

Seja $a \in \mathbb{R}^n$ ponto de acumulação do domínio de uma função $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. Seja $b \in \mathbb{R}^m$. Diz-se que $\lim_{x \to a} f(x) = b$ se

(2)
\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 : \forall x \in D, \; 0 < \| x-a \| < \delta \, \Rightarrow \, \| f(x)-b \| < \varepsilon. \end{align}

Ou, em termos de bolas abertas, dir-se-á que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$ é $b$ se para qualquer $B_\varepsilon(b)$ for possível encontrar $B_\delta(a)$ tal que para todo o $x \in B_\delta(a)$ se tenha $f(x) \in B_\varepsilon(b)$.

A semelhança entre (2) e a definição de limite para funções reais de uma variável real indicia que vários resultados para estas últimas funções valham, com provas também semelhantes (basicamente há que substituir o módulo pela norma), no novo contexto. É o caso, por exemplo, da unicidade do limite, ou das duas proposições que a seguir se referem.

Proposição (álgebra de limites)

Sejam $f,g :D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ e $u :D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Seja $a$ um ponto de acumulação de $D$. As seguintes igualdades são válidas desde que existam os limites que constam nos respectivos segundos membros (e, no caso de (4), supondo também que os denominadores não sejam nulos):

(3)
\begin{align} \lim_{x \to a}(f+g)(x) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x); \quad \lim_{x \to a} (u f)(x) = \lim_{x \to a} u(x) \lim_{x \to a} f(x); \end{align}
(4)
\begin{align} \lim_{x \to a} \frac{f}{u}(x) = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} u(x)}. \end{align}

Proposição (limite da composição)

Sejam $f : A \subset \mathbb{R}^n \to B \subset \mathbb{R}^m$ e $h : B \to \mathbb{R}^p$. Sejam $a$ e $b := \lim_{x \to a} f(x)$ pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. A seguinte igualdade é válida desde que exista o limite no segundo membro e se verifique a implicação $x \not= a \Rightarrow f(x) \not= b$:

(5)
\begin{align} \lim_{x \to a} (h \circ f)(x) = \lim_{y \to b} h(y). \end{align}

A propósito do limite da composição, ver na parte 4 uma proposição que complementa esta.

Exemplo

A partir das duas proposições anteriores (e de um dos exercícios da parte que se segue), podemos agora calcular o limite de $\sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)$ quando $(x,y)$ tende para $(0,0)$: muito sumariamente, e deixando a justificação dos detalhes ao leitor, a proposição anterior é aplicada a

(6)
\begin{align} f : \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \to \mathbb{R} \setminus \{0\}\; \mbox{ e } \; h : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \end{align}

dadas, respectivamente, por

(7)
\begin{align} f(x,y):=x^2+y^2\; \mbox{ e } \; h(u):=\frac{\sin u}{u}, \end{align}

de modo que o cálculo acaba por se reduzir ao do limite notável $\lim_{u \to 0} \sin u/u$, o qual sabemos ser 1 (em alternativa, pode este último limite obter-se por aplicação da regra de Cauchy).


Seguir para a parte 3 ou adicionar um comentário em baixo.

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