2.1 Continuidade de funções de várias variáveis - parte 1

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Definição de função vectorial de várias variáveis reais

Uma aplicação $f : D \to \mathbb{R}^m$, onde $D$ é um subconjunto de $\mathbb{R}^n$, com $n \in \mathbb{N}\setminus\{1\}$, diz-se uma função vectorial de várias variáveis reais. Também escreveremos $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$.

No caso importante de o expoente $m$ em cima ser igual a 1, estaremos a considerar as mais propriamente designadas funções reais de várias variáveis.

Exemplo

$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ dada por $f(\theta,\varphi)=(\cos \theta \sin \varphi, 2 \sin \theta \sin \varphi, \cos \varphi)$. Não é possível retratar numa figura o gráfico desta função, pois trata-se de um subconjunto de $\mathbb{R}^5$. No entanto, é possível retratar a sua imagem (i.e., contradomínio), já que esta está em $\mathbb{R}^3$. É exactamente isso que mostra o plug-in em 2 Integração.

Exemplo

$f : [-5,5]^2 \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $f(x,y) = \sin (x^2+y^2)$. Neste caso é possível retratar o gráfico, já que vive em $\mathbb{R}^3$:

grafcart.png?download=true

Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: grafcart.the

As definições de soma e de produtos de funções de várias variáveis faz-se pontualmente, tal como no caso de funcões de uma só variável1. A única diferença é agora o argumento das funções variar num domínio em $\mathbb{R}^n$.

Como o título da secção indica, queremos considerar aqui a questão da continuidade para este tipo de funções. Para o efeito, e tendo em vista também outras discussões futuras, é conveniente introduzir desde já algumas noções topológicas em $\mathbb{R}^n$.

Definição de bola aberta

Dados $a \in \mathbb{R}^n$ e $r>0$, o conjunto

(1)
\begin{align} B_r(a) := \{x \in \mathbb{R}^n : \| x-a \| < r\} \end{align}

diz-se a bola aberta de centro em $a$ e raio $r$.

Recorda-se que o símbolo $\| \cdot \|$, que já anteriormente apareceu, designa a norma euclidiana em $\mathbb{R}^n$.

Observe-se que para $n=1$ a bola aberta não é mais do que um intervalo aberto, para $n=2$ é um círculo (sem a sua circunferência), e para $n=3$ — de onde vem a inspiração para a designação bola — é uma esfera sólida. Em qualquer dos casos a distância ao centro $a$ é inferior ao raio $r$.

Definições de ponto interior e de interior

Seja $A \subset \mathbb{R}^n$. Um elemento $a$ de $A$ diz-se um ponto interior de $A$ se existir $r>0$ tal que $B_r(a) \subset A$. E o conjunto ${\rm int\,} A$ dos pontos interiores de $A$ designa-se por interior de $A$.

Definições de conjunto aberto e de conjunto fechado

Um subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ diz-se aberto se for o vazio ou se todos os seus pontos forem interiores, i.e., se $A = {\rm int\,} A$. Diz-se fechado se $\mathbb{R}^n \setminus A$ for aberto.

Os exemplos não triviais mais simples de abertos são as próprias bolas abertas, como facilmente se constata, embora facilmente se possam construir também exemplos mais complicados.

Observe-se que os conceitos de aberto e de fechado não são a negação um do outro. E que nenhum deles tem a ver com o conceito de limitado: um conjunto diz-se limitado se estiver contido em alguma bola (aberta).

Exercício

Dê um exemplo de um conjunto em $\mathbb{R}$ que seja simultaneamente aberto e fechado. E um exemplo de um que não seja aberto nem fechado. Faça o mesmo em $\mathbb{R}^2$.

Definições de exterior, de fronteira e de fecho

Um elemento $x$ de $\mathbb{R}^n$ diz-se ponto exterior a $A \subset \mathbb{R}^n$ se for ponto interior de $\mathbb{R}^n \setminus A$. O conjunto ${\rm ext\,} A$ de tais pontos diz-se o exterior de $A$. Um ponto que não seja interior de $A$ nem exterior a $A$ diz-se ponto fronteiro de $A$. Ao conjunto $\partial A$ dos pontos fronteiros de $A$ chama-se fronteira de $A$. O fecho de $A$ é o conjunto $\overline{A} := A \cup \partial A$.

O seguinte resultado pode ser útil na prática:

Proposição (caracterizações dos fechados)

Um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ é fechado se e só se contiver a sua fronteira. Equivalentemente, um subconjunto de $\mathbb{R}^n$ é fechado se e só se coincidir com o seu fecho.


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