1 Curvas

Definição de curva

Uma curva em $\mathbb{R}^n$ é a imagem (ou contradomínio) de uma aplicação contínua de um intervalo $I$ de números reais para $\mathbb{R}^n$.

A definição de continuidade para funções vectoriais de variável real será dada mais à frente, mas intuitivamente é disso que precisamos para garantir que a definição que se acabou de dar de curva vai ao encontro de pelo menos um dos requisitos que intuitivamente atribuímos a um objecto que identificamos como uma curva: a possibilidade de ser traçada de um modo contínuo. Os seguintes são exemplos de curvas, de acordo com a definição em cima (deixaremos para mais tarde a verificação de que as funções em causa são contínuas):

Exemplo

A circunferência de centro em 0 e raio 1 é a imagem da aplicação $r : I \to \mathbb{R}^2$ dada por $r(t)=(\cos(t),\sin(t)), \; t \in I$, desde que a amplitude do intervalo $I$ seja pelo menos de $2\pi$ (porquê?).

circunferencia.gif

Exemplo

A linha recta que passa pelo ponto $P=(1,1,1)$ e tem a direcção do vector $(1,2,3)$ é a imagem da aplicação $r : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ dada por $r(t)=(1,1,1)+t\, (1,2,3), \; t \in \mathbb{R}$.

A figura em baixo ilustra este exemplo.

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Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: recta.the. Por exemplo, pode rodar a figura, para procurar o melhor ângulo. Ah, e pode também seleccionar a expressão para o $r$, escrever outra no lugar dela e ver o efeito na figura. Tente, por exemplo, obter a circunferência do exemplo anterior, mas colocada na cota $z=2$.


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