Definição de curva
Uma curva em $\mathbb{R}^n$ é a imagem (ou contradomínio) de uma aplicação contínua de um intervalo $I$ de números reais para $\mathbb{R}^n$.
A definição de continuidade para funções vectoriais de variável real será dada mais à frente, mas intuitivamente é disso que precisamos para garantir que a definição que se acabou de dar de curva vai ao encontro de pelo menos um dos requisitos que intuitivamente atribuímos a um objecto que identificamos como uma curva: a possibilidade de ser traçada de um modo contínuo. Os seguintes são exemplos de curvas, de acordo com a definição em cima (deixaremos para mais tarde a verificação de que as funções em causa são contínuas):
Exemplo
A circunferência de centro em 0 e raio 1 é a imagem da aplicação $r : I \to \mathbb{R}^2$ dada por $r(t)=(\cos(t),\sin(t)), \; t \in I$, desde que a amplitude do intervalo $I$ seja pelo menos de $2\pi$ (porquê?).
Exemplo
A linha recta que passa pelo ponto $P=(1,1,1)$ e tem a direcção do vector $(1,2,3)$ é a imagem da aplicação $r : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ dada por $r(t)=(1,1,1)+t\, (1,2,3), \; t \in \mathbb{R}$.
A figura em baixo ilustra este exemplo.
Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: recta.the. Por exemplo, pode rodar a figura, para procurar o melhor ângulo. Ah, e pode também seleccionar a expressão para o $r$, escrever outra no lugar dela e ver o efeito na figura. Tente, por exemplo, obter a circunferência do exemplo anterior, mas colocada na cota $z=2$.
Seguir para 1.1 Caminhos e suas derivadas ou adicionar um comentário em baixo.
Tenho uma duvida. Estou a tentar definir uma possivel equação cartesiana e esboçar a mesma a partir das seguintes paramétricas:
r(t) = (t^2 + 2t; t^4 + 1); t € [0; 1]
O meu problema é o seguinte, não consigo criar uma equação com o x dependente de y. Só o contrário. Será que me pude ajudar a resolver esta questão?
Trata-se do ex. 3.(b) da Folha 1 deste sítio.
Penso que o que queres dizer é que é mais fácil obter a equação na forma de $x$ em função de $y$ (e nesse caso diz-se que o $x$ depende de $y$ — em suma, esta é que é mais fácil). Mas repara que isto deverá ser suficiente para resolver o problema do esboço: é só uma questão de olhares para o sistema de eixos coordenados do ponto de vista adequado.
De qualquer modo, se quiseres obter uma equação com $y$ a depender de $x$, começa por resolver $x=t^2+2t$ em ordem a $t$ como se se tratasse de um equação do 2º grau em $t$ (logo interpretando momentaneamente o $x$ como constante e usando a fórmula resolvente).