1.2 Comprimento de arco

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Com o objectivo de se determinar o chamado comprimento de arco percorrido por um dado caminho $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$, marquem-se pontos $r(t_0), r(t_1), \ldots, r(t_n)$ na curva imagem, onde $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$, e unam-se consecutivamente tais pontos, de modo a obter-se uma linha poligonal inscrita na curva, isto é, cujos vértices se encontrem sobre a curva.

curvapoli.gif

Intuitivamente, o comprimento

(1)
\begin{align} \sum_{k=1}^n \| r(t_k)-r(t_{k-1}) \| \end{align}

de tal linha poligonal não pode exceder a distância percorrida pelo caminho na curva, e deverá estar tanto mais próximo desta quanto mais próximos uns dos outros estiverem os pontos da partição $P = \{ t_0, t_1, \ldots, t_n \}$ de $[a,b]$.

Definição de comprimento de arco de caminho rectificável

Relativamente a um dado caminho, se existir $M>0$ que majore todos os comprimentos de linhas poligonais construídas da maneira que acabou de se descrever, diz-se que o caminho (e também a respectiva curva) é rectificável. Para um tal caminho, define-se o seu comprimento (de arco) como o supremo dos comprimentos de todas aquelas linhas poligonais.

À primeira vista poderá parecer estranho ter de se supor a existência do número $M$ indicado em cima, mas a verdade é que nem todas as curvas são rectificáveis. Isto é, há curvas para as quais o conjunto dos comprimentos das linhas poligonais nelas inscritas não é majorado, como é o caso das denominadas curvas fractais. Se pesquisar na Internet sobre o tema, rapidamente ficará a saber algo mais sobre o assunto. Aqui estamos interessados apenas no caso de curvas rectificáveis.

Proposição (rectificabilidade e comprimento de caminhos continuamente diferenciáveis)

Se um caminho $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ é continuamente diferenciável (i.e., se $r'$ é contínua), então é rectificável e o seu comprimento é igual a

(2)
\begin{align} \int_a^b \| r'(t) \| \, dt. \end{align}

Nas condições desta proposição tem-se, em particular, que a distância

(3)
\begin{align} s(t)=\int_a^t \| r'(\tau) \| \, d\tau, \end{align}

percorrida pelo caminho na curva desde o instante inicial $a$ até cada instante $t$ obtém-se, tal como no caso do movimento rectilíneo, por integração da rapidez.

O uso da expressão (2) no cálculo do comprimento da curva imagem de um caminho deve ser usada com cuidado. Atente no exemplo seguinte:

Exemplo

O comprimento do caminho $r : [0,3\pi] \to \mathbb{R}^2$ dado por $r(t)=(\cos t, \sin t)$ é

(4)
\begin{align} \int_0^{3\pi} \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2} \, dt = 3\pi. \end{align}

No entanto, é bem sabido que o comprimento da circunferência que é curva imagem deste caminho é $2\pi$.


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