1.2 Comprimento de arco

página anterior: 1.1 Caminhos e suas derivadas - parte 6

Com o objectivo de se determinar o chamado comprimento de arco percorrido por um dado caminho $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$, marquem-se pontos $r(t_0), r(t_1), \ldots, r(t_n)$ na curva imagem, onde $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$, e unam-se consecutivamente tais pontos, de modo a obter-se uma linha poligonal inscrita na curva, isto é, cujos vértices se encontrem sobre a curva.

Intuitivamente, o comprimento

(1)

\begin{align} \sum_{k=1}^n \| r(t_k)-r(t_{k-1}) \| \end{align}

de tal linha poligonal não pode exceder a distância percorrida pelo caminho na curva, e deverá estar tanto mais próximo desta quanto mais próximos uns dos outros estiverem os pontos da partição $P = \{ t_0, t_1, \ldots, t_n \}$ de $[a,b]$.

Definição de comprimento de arco de caminho rectificável

Relativamente a um dado caminho, se existir $M>0$ que majore todos os comprimentos de linhas poligonais construídas da maneira que acabou de se descrever, diz-se que o caminho (e também a respectiva curva) é rectificável. Para um tal caminho, define-se o seu comprimento (de arco) como o supremo dos comprimentos de todas aquelas linhas poligonais.

À primeira vista poderá parecer estranho ter de se supor a existência do número $M$ indicado em cima, mas a verdade é que nem todas as curvas são rectificáveis. Isto é, há curvas para as quais o conjunto dos comprimentos das linhas poligonais nelas inscritas não é majorado, como é o caso das denominadas curvas fractais. Se pesquisar na Internet sobre o tema, rapidamente ficará a saber algo mais sobre o assunto. Aqui estamos interessados apenas no caso de curvas rectificáveis.

Proposição (rectificabilidade e comprimento de caminhos continuamente diferenciáveis)

Se um caminho $r : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ é continuamente diferenciável (i.e., se $r'$ é contínua), então é rectificável e o seu comprimento é igual a

(2)

\begin{align} \int_a^b \| r'(t) \| \, dt. \end{align}

Nas condições desta proposição tem-se, em particular, que a distância

(3)

\begin{align} s(t)=\int_a^t \| r'(\tau) \| \, d\tau, \end{align}

percorrida pelo caminho na curva desde o instante inicial $a$ até cada instante $t$ obtém-se, tal como no caso do movimento rectilíneo, por integração da rapidez.

O uso da expressão (2) no cálculo do comprimento da curva imagem de um caminho deve ser usada com cuidado. Atente no exemplo seguinte:

Exemplo

O comprimento do caminho $r : [0,3\pi] \to \mathbb{R}^2$ dado por $r(t)=(\cos t, \sin t)$ é

(4)

\begin{align} \int_0^{3\pi} \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2} \, dt = 3\pi. \end{align}

No entanto, é bem sabido que o comprimento da circunferência que é curva imagem deste caminho é $2\pi$.

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jmaag 02 Oct 2010 14:34

Dúvida relativamente a comprimento de curva e comprimento de caminho:

Usando para cálculos o integral (3), como diz no texto, obtemos como resultado final o comprimento do caminho percorrido (distância percorrida). Só podemos dizer que esse valor corresponde ao valor do comprimento da curva considerada, se a curva em questão for bem orientada no intervalo de integração, não é?

Cumprimentos a todos

Re: Dúvida relativamente a comprimento de curva e comprimento de caminho

acaetano 02 Oct 2010 15:26

Usando para cálculos o integral (3), como diz no texto, obtemos como resultado final o comprimento do caminho percorrido (distância percorrida).

Correcto.

Só podemos dizer que esse valor corresponde ao valor do comprimento da curva considerada, se a curva em questão for bem orientada no intervalo de integração, não é?

Não sei bem o que quer dizer aqui, mas se a ideia for que a curva é percorrida uma única vez (e, em particular, não há mudanças no sentido em que a curva é percorrida), está correcto também.

Last edited on 02 Oct 2010 15:28 by acaetano Show more

Entendimento de comprimento da curva

RJSC 07 Oct 2010 22:23

Não fiquei completamente esclarecido sobre o seguinte:

Se uma curva tem alguns dos seus "segmentos" percorridos mais que uma vez, seja porque há uma inversão de sentido, ou como no caso (4) apresentado em que apesar de não haver inversão de sentido a circunferência é percorrida uma volta e meia, essas repetições também contam para o comprimento da curva?

Por exemplo, se numa curva o ponto final corresponder ao inicial (foi percorrida até ao fim e voltou-se ao ponto inicial exactamente pelo mesmo caminho) o comprimento da mesma é considerado zero?

É meu entendimento que não será zero mas sim 2 vezes o comprimento da curva percorrida uma única vez, mas não fiquei esclarecido pelo texto.

Re: Entendimento de comprimento da curva

acaetano 07 Oct 2010 22:53

Há que distinguir entre o comprimento de uma curva e o comprimento do trajecto percorrido por um caminho sobre essa curva. Idealmente, o comprimento da curva não deverá depender do caminho que a percorre, se a percorrer completamente uma só vez (mas mesmo isto não é fácil de provar).

Assim, e ilustrando novamente com o caso da circunferência de raio 1: o seu comprimento é $2 \pi$ e esse deverá ser o valor que se obtém se se calcular o comprimento de um caminho que a percorra completamente uma só vez (caso em que o ponto final coincidirá com o ponto inicial); se, por outro lado, se tiver um caminho que percorreu a circunferência uma vez e depois voltou para trás, percorrendo-a novamente, mas em sentido contrário, então o comprimento deste outro caminho é $4 \pi$. Embora, é claro, a curva em si (o conjunto de pontos) não tenha alterado o seu comprimento, o qual continua a ser $2 \pi$.

Não sei se consegui esclarecer completamente a dúvida!

Sen(t)

Suzugamori Hime 11 Apr 2014 21:35

Boa noite!

Estive tentando resolver uma questão e não consigo sair de um impasse…

A questão é sobre a função f(t):[0,1]->R ; f(t)=sin(t).

Como o seno é continuamente diferenciável (já que o cosseno é contínuo), suponho que poderia fazer:

(1)

\begin{align} \int_{0}^{2\pi} \left \| {sin(t)}' \right \| dt = \int_{0}^{2\pi} \left \| cos(t) \right \| dt = 4 \times \int_{0}^{\pi/2} cos(t) dt = 4 \times sin(t) dt [0,\pi/2] = 4 \times 1 = 4 \end{align}

Eu errei algo?

Bem, se esta conta estiver certa, se nós prestarmos atenção no gráfico, vamos ver que o valor deve ser maior que 4, pois se fosse em linha reta, seria 2pi… (aproximadamente 6)…

Então, você poderia me ajudar? Onde eu errei?

Re: Sen(t)

acaetano 12 Apr 2014 20:10

Olá,

Penso que há alguma confusão na sua formulação. Pelo que percebi sobre aquilo que esperava que desse, penso que a sua ideia seria calcular o comprimento do gráfico do seno no intervalo $[0,2\pi]$.

Se é essa a questão, a parametrização que interessa usar é $\, t \mapsto (t,\sin t)\,$ no referido intervalo. A parametrição que usou percorreu o segmento $[0,1]$ da esquerda para a direita, depois da direita para a esquerda, e a seguir percorreu o segmento $[-1,0]$ da direita para a esquerda e depois da esquerda para a direita (é a variação do seno em $[0,2\pi]$), e por isso é que dá 4.

Usando a parametrização correta, o integral a calcular é

(1)

\begin{align} \int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos^2t} \; dt. \end{align}

Não creio que seja possível calculá-lo pelas regras habituais de primitivação, mas o seguinte valor aproximado pode ser obtido (por exemplo usando a WolframAlpha): $7,6404$.

Espero ter ajudado!