1.1 Caminhos e suas derivadas - parte 6

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Definição de aceleração

Define-se aceleração do caminho $r : I \to \mathbb{R}^n$ em $t \in I$ como $r''(t)$, a segunda derivada de $r$ em $t$.

Tal como a velocidade, trata-se de uma grandeza vectorial, mas cuja direcção não coincide necessariamente com a da tangente à curva respectiva no ponto em causa. Por exemplo, no caso da circunferência, imagem de $r(t)=(\cos(t),\sin(t))$, considerada em 1 Curvas, temos, de acordo com a definição acabada de dar, que a aceleração deste caminho em $t$ é $r''(t)=(-\cos(t),-\sin(t))=-r(t)$, logo neste caso trata-se de um vector que tem a direcção do vector de posição $r(t)$ do ponto $r(t)$, tendo sentido oposto. Está, na verdade, relacionado com a força centrípeta que mantém a partícula a mover-se numa circunferência à volta do seu centro.

Esta relação da aceleração com uma força não é uma coincidência, pelo menos no espaço físico em que nos movemos. É, na verdade, um princípio geral descrito pela seguinte conhecida lei física da mecânica newtoniana:

2ª lei de Newton

Se uma partícula de massa $m$ se desloca segundo um caminho $r : I \to \mathbb{R}^3$, a força $F$ que actua sobre ela é dada, em cada instante $t$, por

(1)

\begin{equation} F(t) = m r''(t). \end{equation}

Supõe-se, é claro, que $r$ se pode derivar duas vezes.

Assim, se se conhecer, por outros meios, a força que actua numa partícula, a identidade dada por esta lei permite conhecer a aceleração provocada na partícula (conhecendo também a sua massa, é claro). Por exemplo, no caso da força da gravidade, sabe-se que, junto à superfície da Terra, provoca uma aceleração de (aproximadamente) $(0;0;-9,8)$, em metros por segundo ao quadrado. Esta informação permite, por sua vez e através de integração, determinar os caminhos seguidos por partículas que se movam sujeitas somente a tal força no contexto acabado de enunciar, como exemplificaremos a seguir. Tente uma resolução por si, antes de ver a resolução aqui apresentada.

Exercício

Determine o caminho de um ponto material que se desloque junto à superfície da Terra partindo da posição inicial $(0,0,0)$ com velocidade inicial $(10,20,64)$ (unidades usadas: espaço em metros; tempo em segundos).

ver resolução

Designando por $r$ o caminho a determinar, temos que, no contexto indicado, $r''(t)=(0;0;-9,8)$, logo $r'(t)=(c_1;c_2;-9,8 t+c_3)$.

Conjugando com a informação $r'(0)=(10;20;64)$ (escolheu-se 0 para instante inicial), obtém-se $c_1=10$, $c_2=20$ e $c_3=64$, de onde sai

(2)

\begin{equation} r'(t)=(10;20;-9,8 t+64). \end{equation}

Primitivando outra vez, obtém-se $r(t)=(10t+c_4;20t+c_5;-4,9 t^2+64t+c_6)$.

Conjugando com a informação $r(0)=(0;0;0)$, determina-se, finalmente, o caminho seguido pelo ponto material:

(3)

\begin{equation} r(t)=(10t;20t;-4,9 t^2+64t) \end{equation}

Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: projectil.the.

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