página anterior: parte 4
A animação anterior também mostra que a velocidade com que a curva é descrita não é necessariamente a mesma em todos os seus pontos, isto é, pode depender do instante $t$ que se está a considerar.
Definição de velocidade
Por analogia com a definição no caso de movimentos rectilíneos, e pensando como se $r(t)$ descrevesse a posição de uma partícula sobre a curva $C$ em cada instante $t$, define-se velocidade de $r : I \to \mathbb{R}^n$ em $t_0 \in I$ como
(1)no caso de este limite existir.
De acordo com uma proposição anterior1, isto afinal é o mesmo que a derivada $r'(t_0)$, na suposição de $r$ ser diferenciável em $t_0$. Em particular, a velocidade instantânea é um vector. Reservaremos a palavra rapidez para a norma $\| r'(t_0) \|$ da velocidade.
Exemplo
No caso da animação referida atrás, a velocidade em cada instante $t$ é então dada por $r'(t)=(-4t^3,2t)$, e a rapidez é dada por $\| r'(t) \| = 2|t|\sqrt{4t^4+1}$. Esta última expressão é a que traduz matematicamente a impressão visual de amortecimento que experimentamos ao observarmos o "ponto" vermelho quando o $t$ se aproxima de 0, ou a sensação de aceleração à medida que $t$ se aproxima de 2.
Em termos geométricos, não é muito difícil convencermo-nos de que $r'(t_0)$ tem direcção tangente à curva imagem de $r$ no ponto $r(t_0)$. Podemos formalizar esta impressão, partindo do princípio que a noção não depende da parametrização particular que se considere (o que aceitaremos sem mais discussão2):
Definição de tangente
Sejam $C$ uma curva descrita por um caminho $r : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0 \in I$. Se $r'(t_0)$ existir e for diferente de zero, diz-se que a recta que passa por $r(t_0)$ e tem a inclinação de $r'(t_0)$ é a recta tangente a $C$ em $r(t_0)$. Diz-se então também que $r'(t_0)$ é um vector tangente a $C$ em $r(t_0)$.
Exemplo
De acordo com esta definição, no caso da animação da página anterior a recta tangente à curva em $(0,1) = r(1)$ é dada pela equação vectorial $\ell(t)=(0,1)+t(-4,2)$. Ao sobrepormos, a cor verde e a ponteado, a imagem deste caminho na figura da página anterior, obtém-se, como seria de esperar, a figura em baixo.
Seguir para a parte 6 ou adicionar um comentário em baixo.