1.1 Caminhos e suas derivadas - parte 4

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Voltemos agora à consideração das curvas. De acordo com a definição, uma curva $C$ será a imagem de uma aplicação contínua $r : I \to \mathbb{R}^n$ de variável real no intervalo $I$. Dir-se-á então que $r$ é uma parametrização de $C$, com parâmetro $t$, e que $C$ é descrita, traçada ou percorrida por $r$.

Definição de caminho

Uma tal aplicação também se designa por caminho. Embora esta designação possa remeter, em linguagem comum, para a curva descrita por $r$, matematicamente faz-se esta distinção entre as duas designações. Assim, tome nota, em particular, que a palavra caminho designa uma aplicação, e não um conjunto de pontos em $\mathbb{R}^n$.

Se $I$ for um intervalo $[a,b]$, dir-se-á que $r(a)$ e $r(b)$ são extremos do caminho $r$ (por vezes também impropriamente chamados de extremos da curva $C$). Do ponto de vista do caminho $r$, faz sentido dizer-se que o primeiro é o extremo inicial e que o segundo é o extremo final, e que a curva é descrita de $r(a)$ para $r(b)$.

Exercício

Determine uma parametrização $s$ de $C$ para a qual os extremos inicial e final estejam trocados em relação aos de $r$.

Poderá parecer natural dizer-se então que $r$ e $s$ descrevem $C$ em sentidos opostos, ou com orientações opostas, mesmo que não se tenha definido sentido ou orientação de um caminho, ou de uma curva. Não exploraremos mais esta questão aqui, mas o seguinte exemplo deverá dar que pensar relativamente à possibilidade de se poder sempre dizer que existe uma orientação bem definida, ou de o mero facto de duas parametrizações de uma mesma curva trocarem os extremos inicial e final entre si ser garantia de que a orientação de uma é oposta da da outra. O parâmetro $t$ varia aqui recorrentemente de $a$ a $b$, vendo-se a progressão das imagens $r(t)=(x(t),y(t))$ na curva através da progressão do “ponto” vermelho.

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Ficheiro the para manipular no LiveMath Viewer: sentido.the.


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