1.1 Caminhos e suas derivadas - parte 3

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As definições dadas atrás permitem passar facilmente para funções vectoriais muitos resultados sobre limites, continuidade, derivação e integração conhecidos para funções reais. Exemplificamos com algumas proposições:

Proposição (derivadas da soma e produtos)

Sejam $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ e $u : I \to \mathbb{R}$ diferenciáveis no intervalo $I$. Então também $f+g$, $uf$ e $f \cdot g$ são diferenciáveis e

(1)
\begin{align} (f+g)'=f'+g', \quad (uf)'=u'f+uf', \quad (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g'. \end{align}

No caso de $n=3$ tem-se também que

(2)
\begin{align} (f \times g)' = f' \times g + f \times g'. \end{align}

Proposição (derivada da composição)

Seja $g=f \circ u$, onde $f$ é função vectorial e $u$ é função real (ambas de uma variável real). Se $u$ é contínua em $t$ e se $f$ é contínua em $u(t)$, então $g$ é contínua em $t$. Se as derivadas $u'(t)$ e $f'(u(t))$ existem e são finitas, então também $g'(t)$ existe e é dada pela regra da cadeia:

(4)
\begin{equation} g'(t)=f'(u(t))u'(t). \end{equation}

Observe-se que no segundo membro da identidade anterior o escalar aparece à direita do vector. Na verdade significa o mesmo que $u'(t)f'(u(t))$: apenas escrevemos por ordem inversa para que a expressão (4) seja completamente análoga à regra da cadeia para funções reais de variável real.

Enfim, são válidas as fórmulas de adição para integrais de funções vectoriais, quer se trate de adição relativamente ao intervalo de integração, quer se trate da fórmula do integral da soma de funções. Define-se também, de modo análogo ao que se faz para funções reais, o integral indefinido, tendo-se igualmente que se trata de uma primitiva da função integranda quando esta é contínua. E, por outro lado, verifica-se a fórmula de Barrow:

Proposição (fórmula de Barrow)

Se $f : [a,b] \to \mathbb{R}^n$ é contínua e se $F: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ é uma sua primitiva, então

(5)
\begin{align} \int_a^b f(t) \, dt = F(b)-F(a). \end{align}

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