1.1 Caminhos e suas derivadas - parte 2

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Esta representação de uma função vectorial $f$ através das suas funções coordenadas permite estender facilmente a funções vectoriais de uma variável real as noções de limite, derivada e integral, como iremos ver de seguida.

Definições de limite, derivada e integral

Seja $f=(f_1, \ldots, f_n)$ uma função vectorial de variável real. Sempre que as coordenadas nos segundos membros das seguintes igualdades façam sentido, esses segundos membros servem de definição para o que aparece escrito nos correspondentes primeiros membros:

(1)

\begin{eqnarray} \lim_{t \to t_0} f(t) & = & (\lim_{t \to t_0} f_1(t), \ldots, \lim_{t \to t_0} f_n(t)), \\ f'(t) & = & (f'_1(t), \ldots, f'_n(t)),\\ \int_a^b f(t) \, dt & = & \Big(\int_a^b f_1(t) \, dt, \ldots, \int_a^b f_n(t) \, dt \Big). \end{eqnarray}

Observe-se que estas definições impõem automaticamente limitações aos pontos $t_0$ e $t$ que podem ser considerados. Geralmente trabalharemos com intervalos de números reais nos domínios das funções, caso em que todos os pontos do domínio podem ser considerados (no caso de pontos extremos, os limites e as derivadas deverão considerar-se como laterais, relativamente ao lado em que fazem sentido).

Se bem que estas definições sejam as mais adequadas do ponto de vista do cálculo, é importante, tendo em vista a resolução de certos problemas, saber que, pelo menos no caso das duas primeiras, o seu conteúdo geométrico é análogo ao da definição de limite e de derivada no contexto de funções reais. Isto é, são válidas as seguintes duas proposições:

Proposição (limite como noção geométrica)

Seja $t_0 \in \mathbb{R}$ ponto de acumulação do domínio de uma função $f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$. Seja $a \in \mathbb{R}^n$. Então $\lim_{t \to t_0} f(t) = a$ se e só se

(2)

\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 : \forall t \in D, \; 0 < |t-t_0| < \delta \, \Rightarrow \, \| f(t)-a \| < \varepsilon. \end{align}

Naturalmente, $\| \cdot \|$ designa aqui a norma euclidiana de vectores de $\mathbb{R}^n$.

Proposição (derivada como limite)

Seja $t_0 \in D$ ponto de acumulação do domínio de uma função $f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$. Seja $a \in \mathbb{R}^n$. Então $f'(t_0) = a$ se e só se

(3)

\begin{align} \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} = a. \end{align}

Naturalmente, a fracção em (3) deve entender-se como o produto do escalar $(t-t_0)^{-1}$ pelo vector $f(t)-f(t_0)$.

Alguns autores optam por definir limite e derivada através das expressões (2) e (3). As proposições acabadas de enunciar garantem a equivalência desse ponto de vista com o ponto de vista adoptado neste texto.

Definições de continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade

Diz-se que uma função vectorial de variável real é contínua (resp. diferenciável) num ponto do domínio se todas as suas funções coordenadas forem contínuas (resp. diferenciáveis) nesse mesmo ponto. Diz-se que é integrável num intervalo se essas mesmas funções coordenadas forem integráveis nesse intervalo.

Daqui sai imediatamente a continuidade das funções consideradas nos exemplos de 1 Curvas. Por outro lado, conjugando com a definição de limite¹, facilmente se obtém, tal como para funções reais, a caracterização geométrica que se impunha:

uma função $f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ é contínua num ponto de acumulação $t_0 \in D$ se e só se $\lim_{t \to t_0} f(t) = f(t_0)$.

Isto é, conjugando ainda com a noção geométrica de limite²,

uma função $f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ é contínua num ponto de acumulação $t_0 \in D$ se e só se

(4)

\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta > 0 : \forall t \in D, \; |t-t_0| < \delta \, \Rightarrow \, \| f(t)-f(t_0) \| < \varepsilon. \end{align}

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Footnotes

1. $\lim_{t \to t_0} f(t)$ $= (\lim_{t \to t_0} f_1(t), \ldots, \lim_{t \to t_0} f_n(t))$

2. $\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 : \forall t \in D,$ $\; 0 < |t-t_0| < \delta \, \Rightarrow \, \| f(t)-a \| < \varepsilon$