1.1 Caminhos e suas derivadas - parte 1

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Como se viu, encaramos as curvas como obtidas a partir de certas funções vectoriais de variável real. Vamos, por isso, começar por dedicar algum tempo à introdução de conceitos e resultados básicos relativos a tais funções, antes de voltarmos à consideração de curvas. A presente secção contém, portanto, mais do que vem indicado no seu título.

Definição de função vectorial de variável real

Uma aplicação $f : D \to \mathbb{R}^n$, onde $D$ é um subconjunto de $\mathbb{R}$, diz-se uma função vectorial de (uma) variável real. Também escreveremos $f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$.

Embora o $n$ no $\mathbb{R}^n$ em cima possa ser um qualquer inteiro positivo, a definição só tem interesse no caso de $n \geq 2$, pois o caso de $n=1$ já foi suficientemente estudado em cursos anteriores. Os exemplos apresentados em 1 Curvas servem perfeitamente para esta definição também.

Definições de soma e produtos de funções

Se $f$ e $g$ forem funções vectoriais tendo o mesmo $\mathbb{R}^n$ como conjunto de chegada e se $u$ for uma função real, todas com um domínio comum $D \subset \mathbb{R}$, então as funções $f+g$, $uf$ e $f \cdot g$ definem-se, respectivamente, através de

(1)
\begin{align} (f+g)(t)=f(t)+g(t), \quad (uf)(t)=u(t)f(t), \quad (f \cdot g)(t)=f(t) \cdot g(t), \quad \mbox{para }\; t \in D, \end{align}

onde $f(t) \cdot g(t)$ designa o produto interno entre os vectores $f(t)$ e $g(t)$. No caso de estes vectores estarem em $\mathbb{R}^3$, pode-se ainda definir o produto externo $f \times g$ por $f(t) \times g(t)$, $t \in D$.

Estas definições ilustram bem o princípio a ser seguido nas definições destas e de outras operações envolvendo funções vectoriais. Por outro lado, da teoria geral das aplicações conhecemos a operação de composição de funções, que pode também ser usada no presente contexto desde que estejam reunidas as condições necessárias para o efeito. Por exemplo, se o contradomínio da função real $u : D \to \mathbb{R}$ em cima considerada estiver contido no domínio $A$ de uma função vectorial $h : A \to \mathbb{R}^n$, então podemos considerar a composição $h \circ u : D \to \mathbb{R}^n$, a qual é definida por $(h \circ u)(t)=h(u(t))$, $t \in D$.

Definição de funções coordenadas

Observe-se que, dada uma função $f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, para cada $t \in D$ vai existir sempre um número real em cada uma das coordenadas do vector $f(t)$ de $\mathbb{R}^n$, logo cada $f(t)$ pode escrever-se como $(f_1(t), \ldots, f_n(t))$, onde, para cada $i=1, \ldots, n$, $f_i$ designa a função que a cada $t$ faz corresponder o número real que aparece na coordenada número $i$ do vector $f(t)$. É isto que quereremos dizer quando escrevermos $f=(f_1, \ldots, f_n)$. As funções $f_1, \ldots, f_n$ dir-se-ão então as funções coordenadas de $f$.


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